Some Instances of the Hexagon of Opposition in Mathematics, Aesthetics, and Politics


One of the things that logicians study is how opposition is expressed in formal or informal languages. The most obvious type of opposition appears when we negate a simple sentence: (1) “the cat is black” becomes (2) “the cat is not black”. In this case, (1) and (2) are strongly opposed to each other: they are contradictories. This sense of binarity is even stronger in mathematics, where natural numbers can be either even or uneven, with no other options. But often, we find more sophisticated ways to express opposition. A good example is that if we have eight people in front of us, we can refer to all, some, or none of them. We could, for example, say that all the people at the party have grey hair. What oppositions exist when we have not two, but three basic terms? It turns out that there are three types.

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The Place of Mathematics in Badiou’s Ontology: A First Look

Being and Event

It is well-known that Badiou proposes a new connection between mathematics and ontology. In the first place, this is a move internal to the field of philosophy, as his work does not aim to actively contribute theorems and proofs to mathematics proper. Rather, the aim is to show how certain classical ontological/philosophical questions can be approached by examining abstract (but foundational) mathematical theories. This examination remains distinctly philosophical; insights are lifted from the strictly mathematical language and interpreted ontologically. How is this move justified? Perhaps most importantly: How is the relation between mathematics and philosophy understood here? In this short text, I aim to explain how this new assembly of mathematics and ontology is motivated, how it works and why it contributes something to the philosophical field.
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Warum kann die Mathematik zur Lösung von Kants Problem der transzendentalen Synthesis nichts beitragen?

euclidbyrne

Vortrag gehalten auf dem studententischen Kant-Kongress der Humboldt Universität, 10-11.3.2016

Für Kant gibt es genau zwei Wissenschaften, deren Anliegen es ist, synthetische Erkenntnisse a priori hervorzubringen. Diese sind 1) die Mathematik und 2) die von ihm vorgetragene Metaphysik, welche den Namen „transzendentaler Idealismus“ trägt. Die Rollenverteilung zwischen diesen beiden Wissenschaften bestimmt Kant sehr sorgfältig. Jede hat ihre eigenen Fragen und Methoden. Kant nennt die Methode der Mathematik „intuitiver Vernunftgebrauch“ und die der Metaphysik „diskursiver Vernunftgebrauch“. Ganz wichtig ist außerdem, dass die Mathematik laut Kant bestimmte Begriffe und Verfahren voraussetzt, welche sie mit ihren Mitteln selbst nicht erläutern kann. Die Frage „Wie ist reine Mathematik möglich?“ zu beantworten, kommt also der Philosophie zu. Die Metaphysik ist der Mathematik in der Hinsicht übergeordnet, weil sie sich mit noch „tieferliegenden“ epistemologischen Fragestellungen beschäftigt, als die Mathematik.

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Logik und Mathematik mit und bei Hegel

Quantum

Vortrag gehalten auf dem Hegel-Kongress der internationalen Hegel-Gesellschaft: Bochum 19.5.2016

Sehr geehrte Damen und Herren,

in diesem Vortrag werde ich mich mit der Frage auseinandersetzen, inwiefern Hegels Wissenschaft der Logik etwas mit Mathematik oder mit mathematischem Denken zu tun hat. Im ersten Teil beziehe ich mich auf Hegels Phänomenologie des Geistes und seine Seinslogik, um daran zu erinnern, wie er selbst das Verhältnis von Logik (in seinem Sinne) und mathematischer Wissenschaft dargestellt hat. Im zweiten Teil diskutiere ich kurz Klaus Hartmanns Kommentar zu diesen Passagen, in dem er – umfassender, als andere Autoren das getan haben – versucht, Hegels Verhältnis zur Mathematik zu bestimmen. Im dritten Teil möchte ich andeuten, wie sich Hegels Logik zur Mathematik der Gegenwart verhalten könnte. Es geht mir also auch darum, den Kontakt zwischen dialektischem und mathematischem Denken wiederherzustellen.

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What is Possible with Heidegger? Remarks on the Relation Between Modality and Time in Sein und Zeit

Ekstatikon

The ekstatikon, from my notes to Sein und Zeit

Heidegger’s Sein und Zeit is famous for pushing the question of being (“der Sinn des Seins überhaupt”) to the forefront of philosophical inquiry – and for offering as a preliminary horizon for answering this question an investigation into the threefold structure of time (past, present, future). For Heidegger, every explicit or implicit interpretation of being (Seinsverständnis) held by a human being (Dasein) can and must be explained on the basis of a deeper systematic account of the temporal structure of being. To render the thesis of being as time plausible, Heidegger spends most of the book reinterpreting a host of typical, but also atypical, subjects of ontological inquiry, like things, signs, world, space, sociality, normativity, emotion, understanding, language, truth, silence, fear, conscience, and death. This paper asks what role logical modality (possibility, actuality, necessity) plays in his account of temporality (Zeitlichkeit), and argues that the link between the two provides an important insight in the systematic nature of his philosophical operation.

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Heidegger and Marx on Interpreting and Changing the World

Marx' 11th Thesis on Feuerbach

I have been thinking a lot about ways to connect Heidegger’s Being and Time to Marxism recently, as an earlier German post of mine shows. Apart from his Letter on Humanism, no mention of Marx is found, except for in this interview on German television (subtitled in English): Continue reading

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