Warum kann die Mathematik zur Lösung von Kants Problem der transzendentalen Synthesis nichts beitragen?

euclidbyrne

Vortrag gehalten auf dem studententischen Kant-Kongress der Humboldt Universität, 10-11.3.2016

Für Kant gibt es genau zwei Wissenschaften, deren Anliegen es ist, synthetische Erkenntnisse a priori hervorzubringen. Diese sind 1) die Mathematik und 2) die von ihm vorgetragene Metaphysik, welche den Namen „transzendentaler Idealismus“ trägt. Die Rollenverteilung zwischen diesen beiden Wissenschaften bestimmt Kant sehr sorgfältig. Jede hat ihre eigenen Fragen und Methoden. Kant nennt die Methode der Mathematik „intuitiver Vernunftgebrauch“ und die der Metaphysik „diskursiver Vernunftgebrauch“. Ganz wichtig ist außerdem, dass die Mathematik laut Kant bestimmte Begriffe und Verfahren voraussetzt, welche sie mit ihren Mitteln selbst nicht erläutern kann. Die Frage „Wie ist reine Mathematik möglich?“ zu beantworten, kommt also der Philosophie zu. Die Metaphysik ist der Mathematik in der Hinsicht übergeordnet, weil sie sich mit noch „tieferliegenden“ epistemologischen Fragestellungen beschäftigt, als die Mathematik.

Wenn dem in der Tat so ist, leuchtet ein, warum zur Lösung der spezifisch metaphysischen Probleme aus der KrV die Mathematik nicht zur Hülfe gerufen werden kann. Denn, wie Kant die Mathematik verstanden haben möchte, hat diese selbst vielmehr den noch zu erforschenden Gebrauch der reinen Vernunft immer schon zur Voraussetzung.

Das Ziel meines Vortrags ist folgendes. Ich möchte so genau wie möglich die folgende Frage beantworten: Was versteht Kant unter Mathematik, und warum kann sie nach diesem Verständnis zur Lösung der Probleme der transzendentalen Analytik nichts beitragen? Unter Beitragen verstehe das aktive Formulieren einer theoretischen Lösung. Ich beantworte diese Frage jetzt in 6 Punkten.

  1. Mathematik ist eine Wissenschaft, welche es schafft, synthetische Erkenntnisse a priori zu erlangen. Darum ist sie für die Metaphysik, welche den Schritt zur Wissenschaftlichkeit vor Kant noch nicht geschafft hatte, ein Paradigma, an dem letztere sich abarbeiten muss. Metaphysik muss den Schritt zur Strenge, zur Apodiktizität, den die Mathematik schon getan hat, für sich vollziehen.
  2. Mathematische Erkenntnisse sind synthetisch a priori, weil mathematische Begriffe in der Einbildungskraft konstruierbar sind. Eine Mathematikerin denkt nicht bloß über Begriffe (wie gleichschenkliges Dreieck) nach. Auch zeichnet und misst sie diese nicht bloß. Wesentlich ist, dass sie Begriffe in der reinen Anschauung konstruiert. „Einen Begriff aber konstruieren, heißt: die ihm korrespondierende Anschauung a priori darstellen. Zur Konstruktion eines Begriffs wird also eine nicht empirische Anschauung erfordert, die folglich, als Anschauung, ein einzelnes Objekt ist, aber nichts destoweniger, als Konstruktion eines Begriffs […], Allgemeingültigkeit für alle mögliche Anschauungen, die unter denselben Begriff gehören, in der Vorstellung ausdrücken muss.“ (B 741) In den Prolegomena nennt er diese Anschauung auch „in concreto und dennoch a priori“ (Par. 7)
    1. Mathematische Begriffe sind a priori konstruierbar, weil wir über die reinen und daher leeren Anschauungsformen von Raum und Zeit verfügen. Wir konstruieren reine mathematische Gegenstände wie Linien und Dreiecke in der Anschauungsform des Raumes, und Zahlen in der Anschauungsform der Zeit.
    2. Reine mathematische Erkenntnisse sind auf empirische Gegenstände anwendbar, weil mathematische Erkenntnisse für Gegenstände überhaupt gelten. Mathematische Erkenntnisse werden durch Konstruktion von Begriffen in einer reinen Anschauung gewonnen. Reine Anschauung ist aber die Form aller möglicher Gegenstände. Darum sind mathematische Erkenntnisse auf raumzeitliche Gegenstände überhaupt anwendbar.
    3. Mathematische Erkenntnisse sind synthetisch, und dies ist möglich mittels Konstruktion ihrer Begriffe in der Einbildungskraft. Dies leuchtet an Hand von einfachen Beispielen ein. (7 + 5 = 12 und das gleichschenklige Dreieck.)
  3. Bemerkung: Mathematik geht insofern über die aristotelische Logik hinaus, als sie die Methode der Konstruktion von Begriffen in reinen Anschauungen einsetzt. Sie ist Verstandesgebrauch plus reine Konstruktion von Objekten, welche extensive Größen sind.
  4. Mathematik hat den Sprung vom Herumtappen im Dunkeln zur Wissenschaftlichkeit mittels der Einsicht in diese Methode geschafft. Kant nennt dies eine Revolution der Denkart. Seine Vorstellung von dieser Revolution scheint folgende zu sein: vor ihr hat man ohne klare Methode hin und her probiert, gemessen, und ab und zu mal etwas mehr oder weniger klar eingesehen. Als die Griechen dann die Methode der Konstruktion in Anschauungen a priori fanden, verwandelte die Mathematik sich sehr schnell in eine sich ewig erweiternde Wissenschaft.
    1. Die Metaphysik soll diesen Sprung in die Wissenschaftlichkeit irgendwie nachahmen. Der wesentliche Zug daran ist folgender: Anstatt anzunehmen, dass Erkenntnis sich nach den Gegenständen richtet, wird Kant versuchen, mit der Annahme anzusetzen, dass die Gegenstände sich nach unserer Erkenntnis richten. Insofern Kant diese Zentrierung des Erkenntnissubjekts als eine Nachahmung des Anfangs der Mathematik versteht, ist also klar wie er den Anfang der Mathematik sieht:
    2. Kant interpretiert den Anfang (oder die Erfindung) der Mathematik als die Entdeckung der Macht eines Vermögens a priori, welches dem menschlichen Subjekt zukommt. Insofern es laut Kant um ein Denkvermögen geht, wird es also die Aufgabe seiner Erkenntnistheorie sein, zu klären, wie reine Mathematik möglich ist. Aus Kants einführender Beschreibung der Mathematik wird klar, dass Kant selbst das Subjekt in der Mathematik gefunden zu haben glaubt. Es ist also nicht nur der Fall, dass die Metaphysik den Sprung der Mathematik nachahmen muss, sondern man merkt zugleich, dass Kant den Anfang der Mathematik auch schon aus Sicht seiner Metaphysik deutet.
  5. Zwischenbemerkung: Kants Verständnis von Mathematik ist stark an der Euklidischen Geometrie orientiert. Denn diese mathematische Praxis bedient sich eines konstruktiven Beweisverfahrens und bleibt jederzeit kompatibel mit unserem intuitiven Verständnis von Raum und Zeit. Kritik an Kants Theorie der Mathematik setzt normalerweise hier an, da sie auf neue Paradigmen in der Mathematik hinweisen kann, welche weder konstruktiv noch intuitiv zu sein scheinen. Ich möchte hier darauf nicht eingehen.
  6. Die Mathematik hat mehrere Bedingungen, welche nur transzendentalphilosophisch befriedigend erörtert werden können. Dieser Punkt führt uns zur Beantwortung des zweiten Teils meiner Frage: warum kann laut Kant Mathematik, obwohl sie eine apriorische Wissenschaft ist, zur Klärung der Probleme der transzendentalen Analytik nichts beitragen? Die Antwort muss darin liegen, dass die Mathematik selbst Voraussetzungen hat, welche erst in einer transzendentalphilosophischen Untersuchung geklärt werden können. Ich gebe jetzt die Voraussetzungen der reinen Mathematik an, wie ich sie bei Kant vorfinde.
    1. Reine Mathematik ist nur a priori, insofern wir berechtigt sind, die reinen Anschauungsformen Raum und Zeit a priori anzuwenden. Wie gesagt sind letztere zentral für die Konstruktion mathematischer Begriffe wie Dreieck, Zahl, usw. Die Begründung dafür, dass sie in der Tat a priori anwendbar sind, gibt die Transzendentalphilosophie in der Ästhetik. Diese Begründung ist nicht mathematisch, sondern transzendentalphilosophisch, da sie sich mit Anschauungen, Sinnlichkeit, Begriffen, Erscheinungen, usw. befassen muss, also mit Begriffen, die in der Mathematik nicht vorkommen. Die Philosophie erklärt somit, warum das Medium des mathematischen Beweisverfahrens a priori ist.
    2. Reine Mathematik ist nur a priori, insofern wir berechtigt sind, die mathematischen Kategorien und Urteilsformen objektiv anzuwenden. Denn: letztere kommen in ihr ständig zur Anwendung. (Beispiel: Alle gleichschenklige Dreiecke haben zwei gleichgroße Winkel.) Auch hier gibt die Mathematik selbst keine Auskunft über den Gebrauch dieser Kategorien, sondern es ist die Philosophie welche diese im Rahmen einer erkenntnistheoretischen Untersuchung erörtert. Urteile werden dort z.B. als einheitliche Handlungen des Verstandes hinterfragt. Insofern Urteile also unter Bezugnahme auf den Verstand behandelt werden, fallen sie außerhalb der Mathematik und in den Bereich der Transzendentalphilosophie.
    3. Reine Mathematik ist nur a priori, insofern wir berechtigt sind, dort, in der Mathematik, einen Objektbegriff anzuwenden. Denn: Mathematik konstruiert ihre Begriffe als Objekte der Anschauung a priori. (Zitat Seite 270) Ich denke nicht nur an den Begriff eines Dreiecks, sondern ich konstruiere dieses als Objekt in der Anschauung a priori. Die zentralen mathematischen Begriffe sind für Kant alle als Objekte der Anschauung a priori konstruierbar. Der Mathematiker setzt also einen vertrauten Umgang mit Objekten voraus, da die anfängliche Handlung des mathematischen Beweisverfahrens die Konstruktion eines Objektes ist. Die Frage, wie das Mannigfaltige der Anschauung des Dreiecks in einem Objekt vereinigt wird, ist also der Transzendentalphilosophie anheimgestellt (vgl. Seite 140).
    4. Reine Mathematik ist nur a priori, insofern sie berechtigt ist, mit jeglichen Formen der transzendentalen Synthesis zu hantieren. Wir wissen, dass für Kant die sogenannte „ursprünglich-synthetische Einheit der Apperzeption“ der Anker ist der die Berechtigung der objektiven Anwendung der Kategorien und der Anschauungsformen auf Gegenstände möglicher Erfahrung sichert. Diesen komplizierten Zusammenhang zu plausibilisieren oder herzuleiten war die Aufgabe der transzendentalen Deduktion. Wir wissen auch, dass Kant den Grund für diese ursprüngliche Synthesis, oder diese transzendentale Affinität, in das (Selbst)Bewusstsein, also in das Subjekt, legt. Warum finden wir in allem Vorstellen, Wahrnehmen, Anschauen, Denken schon eine implizite Affinität des Inhalts, ganz abgesehen davon, ob wir ihn explizit verbinden? Wie Kant betont, ist diese Affinität, dieser reine Immanenzplan der Gedanken, vielmehr Vorbedingung für explizite Verbindung im Sinne der Kategorien. Kants Antwort auf dieses Rätsel lautet: Das transzendentale Subjekt IST die aktive und zuverlässige Tätigkeit dieser Verbindung.
      Wenn das der Fall ist, wird auch die Mathematik die Formen der Synthesis anwenden, ohne diese selbst erläutern zu können. Ich versuche jetzt nur noch, die wichtigsten Formen der Synthesis darzustellen, welche die Mathematik laut Kant braucht.

      1. Die mathematische Praxis setzt voraus, dass wir berechtigt sind, in Urteilen über mathematische Objekte verschiedene Begriffe objektiv zu vereinigen. Wenn ich z.B. urteile, dass ein Dreieck gleichseitig ist, spreche ich dem von mir konstruierten Dreiecksobjekt dieses Prädikat der Gleichseitigkeit objektiv zu. Zu klären, warum ich berechtigt bin, diese zwei Begriffe (Dreieck und gleichseitig) zu vereinigen in einem Objekt, ist Aufgabe der Transzendentalphilosophie; die Mathematik hat dazu nichts beizutragen.
      2. Die mathematische Konstruktion von Begriffen als Objekten der reinen Anschauung setzt jederzeit die Synthesis der Einbildungskraft voraus. Diese heißt in der B-Deduktion auch die „figürliche Synthesis“. Zitat aus der A-Deduktion: „wenn ich eine Linie in Gedanken ziehe, […] [muss] ich erstlich notwendig eine dieser mannigfaltigen Vorstellungen nach der anderen in Gedanken fassen […]. Würde ich aber die vorhergehende […] immer aus den Gedanken verlieren, und sie nicht reproduzieren, indem ich zu den folgenden fortgehe, so würde niemals eine ganze Vorstellung […] entspringen können.“ (A 102) Das wir für Konstruktion Synthesis brauchen, liegt daran, dass wir verschiedene Teile eines Objekts nacheinander in der Zeit konstruieren. Kant nennt dies auch „Bewegung als Handlung des Subjekts“. Dies gilt für alle konstruierbare Grundbegriffe der Mathematik, wie Zahlen, Einheiten, Linien und Figuren. Diese Synthesis liegt den Umgang mit mathematischen Objekten zu Grunde.
      3. Raum und Zeit als leere Anschauungen a priori, worin geometrische Objekte konstruiert werden können, setzen selbst die reine Synthesis der Apprehension voraus. Raum und Zeit sind nicht nur Anschauungsformen, sondern auch Anschauungen selbst. Wir können den reinen Raum oder die reine Zeit anschauen. In ihnen wird demnach ein Mannigfaltiges vorgestellt, auch wenn dies eine Leere sein mag. Insofern die Anschauungen von Raum und Zeit beinhalten, dass es nur einen Raum, und nur eine Zeit gibt, entdecken wir in beiden reinen oder leeren Anschauung schon wieder eine Synthesis der Apprehension. Insofern aber jeder mathematische Beweis im leeren Raum oder in der leeren Zeit konstruiert wird, setzt die Mathematik dadurch von Anfang an die Synthesis der Apprehension voraus.

Somit bin ich in der Lage, die Antwort auf meine am Anfang gestellte Frage zu geben. Die Mathematik als einzige andere Wissenschaft a priori kann nichts an der Lösung der Fragen der transzendentalen Analytik beitragen, weil sie, nach Kants Interpretation, alle zentrale Ergebnisse der Analytik in ihrem Verfahren bereits voraussetzt. Insbesondere baut ihr charakteristisches Verfahren der Konstruktion von Begriffen in reinen Anschauungsformen auf die transzendentale Synthesis der Apperzeption auf. Um die Voraussetzungen der mathematischen Praxis zu untersuchen, bedarf es einer Methode, welche Begriffe untersucht die nicht konstruierbar sind. Dies ist die Methode, welche die Transzendentalphilosophie eigenständig für sich entwickeln muss.

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