Logik und Mathematik mit und bei Hegel

Quantum

Vortrag gehalten auf dem Hegel-Kongress der internationalen Hegel-Gesellschaft: Bochum 19.5.2016

Sehr geehrte Damen und Herren,

in diesem Vortrag werde ich mich mit der Frage auseinandersetzen, inwiefern Hegels Wissenschaft der Logik etwas mit Mathematik oder mit mathematischem Denken zu tun hat. Im ersten Teil beziehe ich mich auf Hegels Phänomenologie des Geistes und seine Seinslogik, um daran zu erinnern, wie er selbst das Verhältnis von Logik (in seinem Sinne) und mathematischer Wissenschaft dargestellt hat. Im zweiten Teil diskutiere ich kurz Klaus Hartmanns Kommentar zu diesen Passagen, in dem er – umfassender, als andere Autoren das getan haben – versucht, Hegels Verhältnis zur Mathematik zu bestimmen. Im dritten Teil möchte ich andeuten, wie sich Hegels Logik zur Mathematik der Gegenwart verhalten könnte. Es geht mir also auch darum, den Kontakt zwischen dialektischem und mathematischem Denken wiederherzustellen.

Auf den ersten Blick erscheint mathematisches Denken in Hegels System keinen besonders hohen Stellenwert zu haben. Am bekanntesten sind vermutlich die Passagen aus der Vorrede der Phänomenologie des Geistes, in denen Hegel auf polemische Weise die Annahme zurückweist, dass die Philosophie sich mathematischer Methoden bedienen könne. Im Allgemeinen lässt sich seine Kritik auf vier Punkte bringen:

  1. Das Wesentliche am mathematischen Denken ist nach Hegels Diagnose das Beweisen. Ein Beweis ist aber im Resultat, im bewiesenen Satz nicht immanent. Vielmehr ‚verschwindet‘ der Beweis, nachdem er geführt worden ist. Was bleibt, ist ein Resultat, das den Beweisgang nicht als Moment in sich aufgehoben hat. Dem stellt Hegel seinen dialektischen Umgang mit Begriffen entgegen, der die Bewegung des Denkens im Begriff aufzuheben vermag.
  2. Für Hegel ist Mathematik überhaupt durch eine Begriffsarmut gekennzeichnet: Wie ein Beweis zu führen ist, i. e. welche Konstruktionsschritte erforderlich sind, ergibt sich nicht aus den Begriffen. Und Mathematik beschäftigt sich laut Hegel ohnehin zu wenig mit den Verhältnissen zwischen Begriffen wie z. B. zwischen Kreisperipherie und Durchmesser oder zwischen Linie und Fläche. Seine dialektischen Interpretationen solcher Begriffe oder Begriffspaare finden sich im weiteren Verlauf der WdL in großer Anzahl.
  3. Vor dem Hintergrund des umfangreichen Katalogs von Denkbestimmungen, den Hegel in der WdL aufstellt, ist die Mathematik für ihn auf einen sehr kleinen Umkreis von Begriffen beschränkt: auf solche der Quantität. Bereits in der PhG sind genau diese Begriffe aber höchstens in der Lage, den Raum als „leeres, totes Element“ zu denken, in dem sie, die Begriffe, „ebenso unbewegt und leblos sind“. Und diese Begriffe sind weder die ersten, ursprünglichen – wie der des Seins, des Nichts usw. –, noch die am weitesten entfalteten Begriffe, wie sie sich aus der vollendeten System der WdL
  4. Der Gebrauch quantitativer Begriffe, deren die Mathematik sich bedient, wird nach Hegels Auffassung erst in einer systematischen Wissenschaft der Logik gerechtfertigt. Die Philosophie der Logik steht bei Hegel also explizit in einem begründenden Verhältnis zur Mathematik. Diese Ansicht tritt am deutlichsten hervor in Hegels langer Anmerkung zum mathematischen Unendlichen aus dem Quantitätskapitel, in der er verschiedene Erklärungsversuche des Unendlichen von zeitgenössischen Mathematikern vergleicht – mit dem Ziel, eine philosophische Entscheidung darüber zu fällen, welche von diesen Erklärungen seiner immanent-dialektischen Entfaltung der Denkbestimmungen entspricht. Ich werde noch auf diesen Move zurückkommen.

Hegels Mathematikkritik sollte spätestens im 20. und erst recht im 21. Jahrhundert eine gewisse Skepsis hervorrufen. Hat Hegel die mathematische Wissenschaft nicht ein wenig zu begrenzt gesehen? Ist etwas anzufangen mit seiner dynamisch-immanenten seinslogischen Fundierung der mathematischen Denkbestimmungen? Und wirkt Hegels ontologische Fundierung der Mathematik angesichts der geschichtlichen Entwicklung dieser Wissenschaft nicht obsolet? Am wichtigsten scheint mir der Einwand, dass die Mathematik im 20. Jahrhundert eine explizit ‚begriffliche‘ Grundlagenforschung geleistet hat. Man darf nicht vergessen, dass zu Hegels Zeiten Die Elemente von Euklid noch als der Grundlagentext der Mathematik galt und sowohl für Kant als auch für Hegel maßgeblich ihre Auseinandersetzung mit der Mathematik bestimmte. Ich werde die gerade aufgeworfenen Fragen in diesem kurzen Vortrag nicht beantworten können, aber ich möchte versuchen, eine Strategie oder Perspektive zu skizzieren. Zunächst ein paar Sätze über die positive Stellung der mathematischen Denkbestimmungen in Hegels Logik.

Wie schon erwähnt, hat die Mathematik ihren genau abgegrenzten Ort in Hegels System, nämlich in der Abteilung Quantität der Lehre vom Sein, dem ersten Teil der Wissenschaft der Logik. Genau genommen werden dort diejenigen Denkbestimmungen abgehandelt, die nach Hegel reines mathematisches Denken auszeichnen: kontinuierliche und diskrete Größe, Zahl, extensives und intensives Quantum, quantitative Unendlichkeit und das quantitative Verhältnis. Hegel weicht in mehreren Hinsichten von jeder mir bekannten mathematischen Darstellung solcher Grundbegriffe ab:

  1. Die mathematischen Begriffe werden als von qualitativen Begriffen abgeleitet dargestellt. Diese sind in Hegels System also ursprünglicher.
  2. Auch die quantitativen Begriffe werden in einer bestimmten dialektischen Folge auseinander abgeleitet. Hegel bemüht sich, diese Begriffe nicht in der Form einer zufälligen Liste darzustellen, sondern gibt eine immanente Herleitung, die im System zwischen der Qualität und dem Maß liegt.
  3. Hegels Ausführungen entwickeln sich im Großen und Ganzen aus der Einsicht, dass ein Quantum als solches immer durch eine gleichgültige Grenze bestimmt ist. Diese Grenze ist gleichgültig, weil im Quantum das Diesseits und das Jenseits der Grenze nicht qualitativ voneinander unterschieden sind. Quantitativ betrachtet liegen jenseits der Grenze von ‚5 Liter Wasser‘ z. B. ‚8 Liter Wasser‘. Jenseits von ‚5 Liter Wasser‘ liegt also nichts qualitativ Anderes, sondern noch mehr Wasser. Darum wird bei reinen Quantitäten nicht angegeben, ‚worum‘ es sich handelt. Wichtiger ist für die Quantitätsbestimmung, dass verschiedene mögliche Abgrenzungen eindeutig voneinander unterscheidbar sind. Aus dieser Fassung der Quantität als gleichgültige Grenze kann Hegel mehr oder weniger plausibel die Identität von extensiver und intensiver Größe und die Figur des unendlichen Progresses herleiten, womit die wichtigsten quantitativen Begriffe für ihn gegeben sind.

Ohne diese Überlegungen im Detail auszuführen, gehe ich gleich zur Diskussion über.

In seinem posthum publizierten Buch Hegels Logik rekonstruiert und kommentiert Klaus Hartmann das Quantitätskapitel auf rigorose Weise. Dabei geht es ihm insbesondere um die Stellungnahme Hegels zu Newton, Euler und Lagrange, und allgemeiner um Hegels Auffassung vom Verhältnis zwischen Seinslogik und Mathematik. Ich fasse im folgenden nur Hartmanns kritische Punkte zusammen, um danach für einen alternativen Ansatz zu plädieren.

  1. Insofern Hegel seine Darstellung an den quantitativen ‚Begriffen‘ aufhängt, fehlt die typisch mathematische Priorität von Axiomen, Definitionen, Rechenregeln und Ordnungsstrukturen. Dabei wäre aus meiner Sicht aber zu erwarten, dass Hegel diese nun gerade von den Begriffen ausgehend verstehen würde. Erst Denkbestimmungen, dann entsprechende Denkregeln, wäre die Idee. Trotzdem fällt sehr auf, das Hegel die axiomatische Methode, welche so maßgebend für die Mathematik geblieben ist, ablehnt.
  2. Insgesamt, so Hartmann, stehe Hegels Quantitätskapitel „in Spannung zum Selbstverständnis der Mathematik, besonders im entwickelten Fall einer mathematischen Theorie, die nicht auf Quantität als Prius aufgebaut ist“ (145). Hier weist Hartmann darauf hin, dass nicht jede mathematische Theorie so unmittelbar von quantitativen Bestimmungen ausgeht, wie Hegel es voraussetzt. Dagegen ist einzuwenden, dass sämtliche Ansätze dieser Art erst nach Hegel entstanden sind. Das heißt natürlich nicht, dass Hartmanns Argument seine Geltung verliert. Aber zugleich wäre zu fragen, ob sich in der Logik Hegels nicht andere Denkbestimmungen befinden, welche als logische Basis solcher neuen Theorien funktionieren könnten.
  3. Hartmann wirft die Frage auf, ob nicht – insofern die Mathematik als eine eigenständige und kreative Disziplin anerkannt wird – eine Ontologie der Quantität sich an ihr, der Mathematik, orientieren muss, statt umgekehrt. Hegel scheint auch so vorgegangen zu sein, denn er liest in den Anmerkungen zur Mathematik tatsächlich mathematische Texte und sieht es als Aufgabe, sie auf ihren begrifflichen Gehalt zu interpretieren. Hartmann moniert aber, Hegel habe in seiner Parteinahme für Lagranges Erklärung des mathematischen Unendlichen willkürlich in die autonome Disziplin der Mathematik eingegriffen. Die Begründung sei philosophisch motiviert und mathematisch nicht zwingend. Mit anderen Worten: Mit Hegel erhebt sich die philosophische Ontologie über die Mathematik und glaubt über deren Fundierung entscheiden zu können, obwohl diese der Mathematik immanent ist. Damit wird laut Hartmann die Möglichkeit eines intra-mathematischen Paradigmenwechsels geleugnet und mathematische Erkenntnis letztendlich relativiert, i. e. an eine übergeordnete und unabhängige philosophische Logik gebunden.

Angesichts der großen Erfolge der Mathematik des 19. und 20. Jahrhundert ist insbesondere der letzte dieser Punkte ernst zu nehmen. Vornehmlich auf dem Gebiet der Grundlagenforschung gab es in der Mathematik viele Entwicklungen, die einen ausgesprochen reflektierten und metamathematischen Charakter haben. Ich würde sagen, dass gerade solche Arbeiten stark zu einer Klärung der einschlägigen ‚Denkbestimmungen‘ beigetragen haben, welche Hegel als exklusive Aufgabe einer philosophischen (und nicht mathematischen) Logik gesehen hat.

Wie kann ein dialektischer Zugang zu den neueren Grundlagen der Mathematik aussehen? Mein Eindruck ist, dass keiner der von mir konsultierten Kommentatoren der WdL sich diese Frage tatsächlich stellt. Zumeist wird versucht, die textinterne Dialektik nachzuvollziehen, anschließend werden die bereits ausgeführten Probleme erwähnt, und manchmal gibt es Hinweise darauf, dass einige neuere Einsichten sich wohl doch mit Hegels System vereinbaren lassen. Aber die Frage, ob das Selbstverständnis der neueren Mathematik sich auf irgendeine Weise systematisch mit Hegels Begriffen verbinden lässt, wird außen vorgelassen.

Nach meiner Einschätzung ist es durchaus möglich, auch neuere mathematische Theorien mit einer dialektischen Perspektive zu verbinden. Dazu einige Anmerkungen, wie ein solches Projekt gewinnbringend vorangetrieben werden könnte:

  1. Entscheidend ist, die neuen Grundlagen der Mathematik systematisch und nicht nur anekdotisch zu betrachten. Das würde bedeuten, an diese Fragestellung wie Hegel heranzugehen: mit einem begrifflichen
  2. Ich vermute, dass man dabei die strikte Eingrenzung der formalen Bestimmungen der Mathematik auf den Bereich, den Hegel „Quantität“ nennt, fallen lassen muss. Denn Mathematik beschäftigt sich mittlerweile in einem viel weiteren Sinne mit formalen Strukturen. Daher ist zu erwarten, dass sich auch andere Bestimmungen der WdL als mathematisch formalisierbar herausstellen.
  3. Vielleicht müsste man schon den Anfang der WdL mathematischer interpretieren. Bekanntlich zeichnet sich die moderne Mathematik durch ihren äußerst vielfältigen Gebrauch von Variablen aus, obwohl sie diese Vorgehensweise bisher nicht zufriedenstellend philosophisch begründet hat. Der Gebrauch von Variablen ist keineswegs eingeschränkt auf unbestimmte Zahlenwerte, wie es zu Hegels Zeit noch der Fall war. Vielmehr werden Variablen, allgemein betrachtet, für Unbestimmtes schlechthin eingesetzt. Als reine bestimmungslose und leere Zeichen erinnern sie also stark an die Denkbestimmungen des Seins und des Nichts.
  4. In den letzten Jahrzehnten hat sich in der mathematischen Grundlagenforschung ein neuer Ansatz herausgebildet: die Kategorientheorie. Diese zeichnet sich nicht nur durch ihren sehr abstrakten Charakter aus, sondern auch dadurch, dass sie Übergänge zwischen verschiedenen Komplexitätsebenen formalisieren kann. Einer der führenden Mathematiker, William Lawvere, gibt an, er habe sich dabei stark von Hegel inspirieren lassen. Ich zitiere seine Erklärung einer category: „The basic notion which underlies all the others is that of a category, a ‘mathematical universe’. There are many categories, each appropriate to a particular subject matter, and there are ways to pass from one category to another.” Damit bringt er insbesondere den Hegelschen Gedanken der immanenten Entfaltung logischer Bestimmungen wieder ins Spiel, der mit der modernen formalen Logik erst einmal verschwand.

Eine systematische Studie, die diesen Ansatz verfolgt, fehlt.

2 thoughts on “Logik und Mathematik mit und bei Hegel

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